SAKE's Field Notes

外观

《数字信号处理》自用一周速通

约 3052 字大约 10 分钟

数字信号处理DSP傅里叶变换Z变换

2023-12-21

你说的对，但是现在是2023-12-21 19:17，但2023-12-29就是数字信号处理（Digital-Signal-Processing）考试了，还有一周时间...... img

声明：

1.本文复习内容参考电子科技大学《Digital Signal Processing》考纲复习，用于自用复习

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2.本文内容大部分截图内容来自于网络以及电子科技大学课程课件，仅用于学习交流，禁止用于商业用途。

  • 《Digital Signal Processing A computer based Approach》Fourth Edition. Sanjit K. Mitra
  • 《Digital Signal Processing》 张巧利 电子科技大学
  • 《数字信号处理》 潘卉青 电子科技大学
  • https://www.bilibili.com/video/BV1xT411D72f

常用典型离散序列image-20231221202339579

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补充：u(n+A)−u(n+B)=R∣A∣+∣B∣(n+A)u(n+A)-u(n+B)=R_{|A|+|B|}(n+A)

常见信号表示方法

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正弦序列周期判断

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序列卷积计算

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1.把序列x(n)列在上方，h(n)列在下方，进行乘法运算式计算，每列求和，结果即为卷积表达。 2.得到的卷积结果，去除后面连续的O。 3.绘制图像时，第一个卷积结果的坐标点与x(n)第一个序列的坐标点相同。

求序列的傅里叶变换

定义式

image-20231221203845379

基本变换对

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变换性质

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欧拉公式

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例题

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抽样定理（采样定理）

内容

设时间连续信号f(t)f(t)，其最高截止频率为fmf_m，如果用时间间隔为T≤12fmT\le\dfrac{1}{2f_m}的开关信号对f(t)f(t)进行抽样时，则f(t)f(t)就可被样值信号唯一地表示。

补充：意思是说采样率要大于信号最高频率的两倍才能使信号无失真还原出来，如果小于那么就会发生频谱混叠

混叠

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补充：

  • 对于频率 fmf_m ，用 fTf_T 去进行抽样，输出的频率：fo=fi±nfT, −∞<n<+∞f_o=f_i\pm nf_T,\,-\infty<n<+\infty

    eg.

    使用3000Hz抽样率对2000Hz信号进行采样(本质是频移周期延拓)：

    Fo=1000,2000,5000,...HzF_o=1000,2000,5000,...Hz

  • 因为抽样是用周期冲激串进行抽样，所以对于抽样频率fTf_T（单位Hz），抽样后序列xo(n)=xi(t)∣t=nT=xi(t)∣t=nfTx_o(n)=x_i(t)|_{t=nT}=x_i(t)|_{t=\frac{n}{f_T}}

    eg.

    使用20Hz抽样率对x(t)=sin⁡(2πt)x(t)=\sin(2\pi t)进行抽样，抽样后序列为xo(n)=sin⁡(2πn20)=sin⁡(n10)x_o(n)=\sin(2\pi \dfrac{n}{20})=\sin(\dfrac{n}{10})

求序列Z变换与收敛域

等比数列求和

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Z变换定义式

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变换对

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变换性质

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例题

解题步骤：

1.书写定义式

2.去除 u(n)u(n) 表达式：让定义式求和符号下方的 nn 的值,取能使得 u(n)u(n) 表达式为 0 的值，当 nn 的取值为正时，对应 +∞+\infty ；为负时，对应 −∞-\infty

3.提取出剩余表达式的 nn 次方，书写成某表达式的 nn 次方形式,记作[f(z)]n[f(z)]^n

4.令该表达中 n=0n = 0 ,得出 a1a_1 ；而n=1n = 1,得出 qq ，对应无穷大等比数列求和公式image-20231221210621543

其中，收敛域即为 ∣q∣<1|q|<1 ，注意化简表达式。

5.若出现 RN(n)R_N(n)，则对应其ZZ变化,位有限个等比数列求和表达式image-20231221210907741

其中，收敛域即为∣Z∣>0|Z| >0

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留数法求逆Z变换

定义式

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留数法

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补充：对于F(z)=P(z)Q(z)F(z)=\dfrac{P(z)}{Q(z)}，则在 z=kz=k 的留数为Res[F(z),k]=P(z)Q′(z)Res[F(z),k]=\dfrac{P(z)}{Q'(z)}

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image-20231221221006761

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对于第五步：image-20231221221341363

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例题

image-20231221221517041

image-20231221221507062

image-20231221222818149

补充：圈的位置指的是中间位置

一般法计算N点DFT

定义式

image-20231222111101874

计算步骤

image-20231222111300123

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例题

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常用的DFT矩阵

两点DFT

[111−1]\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1\\ \end{bmatrix}

四点DFT

[11111−j−1j1−11−11j−1−j]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -j& -1& j\\ 1 & -1& 1& -1\\ 1 & j& -1& -j \end{bmatrix}

单个N点DFT计算两个实序列的N点DFT

步骤

image-20231222113418207

补充：

  • 关键步骤是将g[n]g[n]和h[n]h[n]定义为新序列的实部和虚部

  • x[<−k>N∗]=g[n]−jh[n]x[<-k>^*_N]=g[n]-jh[n]

例题

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一个N点DFT计算一个实序列的2N点DFT

步骤

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补充：

  • 关键步骤是定义两个实序列分别是待求序列的奇数项序列和偶数项序列
  • 两个实序列的DFT又可以通过一个实序列的DFT（上一结论）得到，所以实际只进行一次DFT

例题

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DFT定理

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有限长序列圆周卷积（循环卷积）

步骤

1.将两个序列做卷积列式乘法 2.将乘法结果前L（卷积区间长度）个数字与后面剩余的数字双排左对齐排列，空位补零,进行相加 3.相加后的序列结果即为卷积结果

例题

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解题步骤

12012211—————12011201  2402    2402      ——————————26554114110      ——————————6765      \begin{array}{r} 1\quad2\quad0\quad1\\ 2\quad2\quad1\quad1\\ \text{—————}\\ 1\quad2\quad0\quad1\\ 1\quad2\quad0\quad1\quad\ \ \\ 2\quad4\quad0\quad2\quad\ \ \quad\ \ \\ 2\quad4\quad0\quad2\quad\ \ \quad\ \ \quad\ \ \\ \text{——————————}\\ 2\quad6\quad5\quad5\quad4\quad1\quad1\\ 4\quad1\quad1\quad0\quad\ \ \quad\ \ \quad\ \ \\ \text{——————————}\\ 6\quad7\quad6\quad5\quad\ \ \quad\ \ \quad\ \ \end{array}

补充：

image-20231222123450713

频谱分析

公式

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例题

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系统函数网络图绘制

课件规定结构

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直接型IIR

差分方程和系统函数

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绘制标准

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补充：逆时针正系数意思是Z系数是多少就标多少，顺时针则标Z系数的相反数。

直接型IIR

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补充：零点是前向通道，极点是反馈回路

image-20231225162422301

image-20231225162458886

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补充：要注意分母部分是顺时针，负系数

级联型IIR

image-20231225162921463

image-20231225162943865

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并联型IIR

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image-20231225163244649

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image-20231225163311009

直接型FIR

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补充：此处的 Z−1Z^{-1} 进行了复用

级联型FIR

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数字滤波器的转换

冲激不变法

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补充：

1.极点：ss 平面 s=sks=s_k --> zz 平面 z=eskTz=e^{s_kT}，其中如果 sks_k 是复数，则 sk∗s_k^* 亦是极点。

2.部分分式系数相同：AkA_k

3.稳定性不变：Re[sk]<0Re[s_k]<0 --> ∣eskT∣<1|e^{s_kT}|<1

双线性变换法

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习题部分

第三章

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往年考题总结

1.用CTFT来推导DFT

补充：

1.重要性质：

  • 时域上周期，频域上离散（单位圆等间隔采样函数的周期性）
  • 时域上离散，频域上周期（冲激采样序列函数的频域周期性）

2.傅里叶级数：

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2.DFT和FFT

补充：

1.DFT复杂度 N2N^2，IDFT复杂度 N(N−1)N(N-1)

2.FFT复杂度 Nlog⁡2NN\log_{2}{N}，计算次数 N2log⁡2N\dfrac{N}{2}\log_2N

3.双声道音频信号采样点数=采样率*时间*2

3.IIR滤波器设计

补充：

1.归一化边界角频率：

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2.预畸变频率：

wac=tan⁡Ωc2w_{ac}=\tan\dfrac{\Omega_c}{2}

3.解归一化：

Ha(s)=H(swac)H_a(s)=H(\dfrac{s}{w_{ac}})

4.双线性变换：

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